Durante los dos últimos años he estado estudiando con interés artículos y capítulos de libros que discuten la naturaleza de la teoría y el método en la investigación en didáctica de las matemáticas (o matemática educativa). En un principio este interés fue detonado por mi contacto con la comunidad europea de educadores matemáticos, que es la que más tradición tiene en cuanto a la discusión colectiva de este tipo de temas.

A mi regreso a México comencé a promover la discusión y estudio de estos tópicos fundamentales de la didáctica. Esto a través de conferencias, talleres, seminarios, escritos (como este), y pláticas informales. Dichas actividades han despertado distintos tipos de reacciones entre mis colegas: las reacciones varían desde aquellas que expresan un sincero interés y agradecimiento por promover este tipo de discusiones, hasta aquellas que rayan en la censura y el rechazo categórico a mis actividades e ideas. Ambos tipos de reacciones las interpreto sin embargo como un indicador de que lo que hago está contribuyendo a detonar reflexiones entre mis colegas.

Pero, ¿por qué promover este tipo de discusiones en México? Mis razones son variadas. Aquí enuncio solo dos de ellas:

A nivel internacional las reflexiones y discusiones colectivas sobre la naturaleza de las distintas teorías y la manera en que éstas pueden ser complementadas o combinadas están ganando un gran ímpetu. Un ejemplo de esto (aunque podría dar más) es que el congreso ICME, el congreso internacional más importante y viejo de nuestra disciplina, por primera vez incluirá en el año 2012 un grupo de discusión enfocado en discutir distintas teorías en matemática educativa (ver TSG 37: Theoretical issues in mathematics education http://www.icme12.org/sub/tsg/tsgload.asp?tsgNo=37). No obstante, a pesar de que la comunidad internacional tiene más de media década fomentando estas discusiones, México y en general Latinoamérica a participado escasamente en ellas. Tampoco a promovido las propias. Los escasos esfuerzos en esta dirección se han enfocado en discutir y promover aproximaciones teóricas particulares.

Otra motivación para fomentar estas actividades es que la teoría, además de ser un componente básico de una investigación, es un componente cuyo funcionamiento, aplicación y alcances no son fáciles de comprender. Yo mismo he experimentado muchas dudas y concepciones erróneas sobre la naturaleza y el rol de la teoría en una investigación educativa a lo largo de mi desarrollo como matemático educativo. Dado que la aplicación de la teoría no es una tarea trivial, creo que se deben ofrecer espacios de discusión donde investigadores experimentados y novatos intercambien opiniones y experiencias sobre la naturaleza, aplicación, combinación y alcances de distintas teorías.

Con la intención de seguir promoviendo la discusión sobre la naturaleza y el rol de las teorías en matemática educativa, en esta entrada de blog discutiré una idea que con insistencia he escuchado entre algunos colegas desde que regresé a México. Dicha idea se relaciona con la posible generalización de las teorías en matemática educativa a través de distintos contextos.

La primera vez que escuché esta idea, fue cuando expuse mi investigación doctoral en el Seminario de los Jueves del Cinvestav. Ahí un estudiante me cuestionó el por qué en mi investigación utilizaba modelos teóricos que se habían desarrollado en Europa para analizar datos empíricos que habían sido recolectados en México. Al parecer, la suposición detrás de dicho cuestionamiento es que las teorías educativas que han sido desarrolladas en otros contextos (distintos al mexicano), no podrían ser directamente aplicables a nuestra realidad educativa… ¿Es esta suposición válida?

Conforme pasaron los meses seguí escuchando variaciones de esta idea, hasta que la llegué a encontrar en un video en YouTube de una conferencia que Ricardo Cantoral dictó durante el Simposio en Matemática Educativa que organizamos en agosto del 2011 en el CICATA-IPN. Esta idea que sugiere que las teorías en matemática educativa no son generalizables a través de diferentes contextos, es mencionada al menos dos veces durante la conferencia. La primera acontece en el tiempo 2’ 45’’ del video. Ahí el mencionado profesor afirma:

“[…] Y en el caso de la matemática educativa ocurre también con mucha frecuencia que los investigadores utilizan referentes teóricos que fueron pensados y desarrollados para realidades muy distintas que la nuestra”

Aquí comienza el extracto del video al que me refiero:

En un segundo momento de la conferencia, el profesor Cantoral profundiza en esta idea tomando como base la teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau (ver Brousseau, 2002). Durante su argumentación, el profesor Cantoral explica cómo esa teoría fue construida en un contexto escolar muy particular, donde los estudiantes tenían que estudiar matemáticas aunque no quisieran. Esto es, los estudiantes no estudiaban matemáticas porque la eligieran, sino porque era una asignatura obligatoria. La argumentación del profesor continúa señalando que mucha gente toma cualquier teoría (por ejemplo la de Guy Brousseau) y cree que la puede aplicar en cualquier campo de conocimiento o incluso en países distintos. Aquí el profesor hace referencia a una experiencia de uno de sus estudiantes llamado Lianggi Espinoza. Al parecer la narración de esta experiencia tiene el propósito de convencer al público de la imposibilidad de generalizar teorías entre contextos educativos que son culturalmente distintos. La experiencia de Lianggi citada en el discurso de Ricardo Cantoral consiste en cómo un grupo de estudiantes en Francia, al pedírseles que opinen sobre una actividad particular, se comporta de manera muy distinta a como lo hace un grupo de estudiantes en Chile. El profesor Cantoral usa la narración anterior para afirmar: “Por lo tanto tiene sentido buscar teorías que describan la realidad que yo estudio, y no intentar o no suponer que una búsqueda en Google, o una búsqueda en Wikipedia o una búsqueda en revistas me da la teoría para entender mi realidad. Eso es una ilusión simplista.”

Aquí pueden escuchar y mirar ustedes mismos la parte del discurso que acabo de describir:

Algunos de los lectores de esta entrada de blog estarán ahora sospechando que yo no coincido con la idea sugerida en el discurso de Ricardo Cantoral; esto es, con la presunta imposibilidad de tomar teorías que han sido construidas en un contexto o realidad particular, y aplicarlas en otro contexto que sea culturalmente distinto o donde la matemática juegue otro rol dentro de la instrucción escolar. Si los lectores  esta sospechando eso, pues tienen razón: no coincido totalmente con esa idea.

Con lo único que coincido de este discurso es con el punto que señala que la selección y aplicación de teorías no es una tarea trivial. Sin embargo creo que la teoría en matemática educativa sí puede ser generalizable a través de contextos. La literatura especializada (y la historia misma de la matemática educativa) está llena de ejemplos de generalizaciones y extrapolaciones de teorías de un contexto a otro. En la siguiente sección de esta entrada de blog mencionaré algunos de estos ejemplos con la intención de apuntalar mi argumento. Antes de presentar tales ejemplos discutiré brevemente lo que entiendo por “teoría” ya que es un concepto central de esta discusión y que hasta el momento ha sido usado sin mucha precisión:

Para mí teoría es un conjunto de definiciones o ideas, y posibles relaciones entre ellas, que guían y dan forma a las investigaciones en matemática educativa. Para mí la teoría dentro de una investigación puede tomar varias formas: esta forma puede variar desde una “marco teórico” que consiste de una red de definiciones y conceptos acerca de un aspecto particular de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas (como la teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau), hasta uno o dos constructos teóricos que provienen de una misma teoría o de teorías distintas (o incluso de la experiencia práctica), pero que son útiles y necesarios para abordar el problema que se quiere investigar.

Teniendo en mente esta concepción de teoría, en lo que sigue mostraré ejemplos que ilustran cómo la teoría en matemática sí puede ser generalizable entre contextos educativos distintos y también entre países culturalmente distintos. Para dar cierto orden a mi presentación, he agrupado los ejemplos a presentar en dos categorías: conceptos teóricos individuales y redes de conceptos teóricos.

CATEGORÍA 1: CONCEPTOS TEÓRICOS INDIVIDUALES

La manera más simple de ilustrar cómo la teoría sí puede ser generalizable entre contextos distintos es haciendo referencia a conceptos teóricos individuales.

Tomaré como primer ejemplo el concepto de “contrato didáctico” de Brousseau (2002). Este concepto explica cómo el salón de clases de matemáticas está regido por un conjunto de reglas explícitas e implícitas que afectan al profesor, a los estudiantes, y la relación de éstos con el conocimiento matemático a estudiar. Si tomamos como ejemplo la experiencia de Lianggi Espinoza que el profesor Cantoral usó como parte de su discurso, veremos que el concepto de contrato didáctico es un concepto teórico que es aplicable entre los contextos culturalmente distintos que se mencionan en su discurso. El contrato didáctico es un concepto teórico que nos ayudaría a explicar que el tipo de relaciones que se forman entre el profesor francés y sus estudiantes son muy distintas a las que se forman entre el profesor chileno y sus estudiantes. Hay incluso estudios que han caracterizado al contrato didáctico en un escenario escolar a distancia basado en el uso de Internet. El contrato didáctico es pues un concepto teórico que sirve para referirse a la dinámica de distintos contextos escolares sin importar el país o el modo de instrucción donde estén situados.

Hay otros conceptos teóricos que son prácticamente no dependientes del contexto cultural o institucional donde quieran aplicarse. Un ejemplo dentro de esa categoría de conceptos es el de “fidelidad matemática” (Dick, 2007). Este concepto hace referencia a la precisión matemática que poseen las representaciones de objetos matemáticos que se construyen mediante el uso de dispositivos tecnológicos (software, calculadoras, etc). Si la representación generada posee poca precisión matemática, entonces el dispositivo tecnológico que la generó poseerá poca fidelidad matemática. Consideremos el ejemplo de una función por partes (o definida a trozos) que posee un salto en su gráfica. Es posible que al intentar graficar esta función con una calculadora el salto en la gráfica no sea representado. Esto porque en su configuración estándar, la calculadora une con segmentos de recta los pixeles adyacentes de las gráficas; sería necesario cambiar la configuración de la calculadora a un modo en el que no una los pixeles de la gráfica para que el salto se haga evidente (ver figura 1).

Figura 1. Representaciones gráficas de una función definida a trozos hechas en una calculadora.

Así, fidelidad matemática es un concepto que sirve para referirse a las capacidades de representación de distintas herramientas auxiliares en la actividad matemática. Es un concepto aplicable a las herramientas, independiente del contexto cultural o social donde éstas se sitúen.

CATEGORÍA 2: REDES DE CONCEPTOS TEÓRICOS (MARCOS TEÓRICOS)

Existen también marcos teóricos que han mostrado gran generalidad al ser aplicados en contextos educativos y culturales distintos a aquellos donde fueron construidos. En esta sección proporcionaré dos ejemplos al respecto.

Mi primer ejemplo se refiere al trabajo realizado por Andrea diSessa y colaboradores en la Universidad de California Berkeley. En particular me refiero a los estudios sobre “competencia meta-representacional” que ellos han desarrollado (ver por ejemplo diSessa, 2004; diSessa y Sherin, 2000; Sherin, 2000; Azevedo, 2000). En esta serie de estudios, Andrea diSessa y sus colegas han evidenciado que los niños poseen ideas y habilidades intuitivas para producir representaciones de naturaleza gráfica. De especial interés para la matemática educativa son las ideas y habilidades intuitivas que ahora sabemos poseen los niños para representar situaciones en los que algo cambia a través del tiempo.

Por ejemplo, Sherin (2000) realizó un interesante estudio con estudiantes a los que se les pide que representen gráficamente una historia de un auto que va por el desierto, pero que en un momento dado se detiene en un cactus para extraer agua, y después continúa su recorrido. Este estudio se realizó con estudiantes provenientes de tres diferentes escuelas en E.U.A., los cuales nunca habían recibido instrucción formal sobre gráficas de funciones o representación de situaciones que involucran movimiento. Sherin (2000) estudió las representaciones de la historia construidas por los distintos estudiantes y encontró similitudes notables entre las representaciones. De hecho Bruce L. Sherin construyó categorías que engloban el tipo de elementos que se incluyen en las representaciones generadas por los estudiantes: flechas para indicar dirección, letreros que explican la velocidad o el estado del objeto, y otros más. Dichas categorías de elementos son llamadas “recursos constructivos” dentro de este marco teórico.

Los distintos recursos constructivos que han sido identificados a través de las investigaciones empíricas desarrolladas por diSessa y colaboradores, han sido aplicados en otras áreas de la matemática educativa e incluso fuera de la disciplina. Un ejemplo es el estudio de Izsák, Çağlayan y Olive (2009), quienes usan los constructos teóricos generados por diSessa y colaboradores para estudiar cómo estudiantes de matemáticas generan y evalúan ecuaciones algebraicas cuando intentan resolver problemas algebraicos expresados en palabras. Otro ejemplo es el estudio de Danish & Enyedy (2007) quienes aplican la teoría para estudiar las representaciones del proceso de polinización que crean estudiantes en una clase de ciencias. Existen más ejemplos de cómo el marco teórico desarrollado por diSessa y colaboradores se ha aplicado al estudio de representaciones de circuitos eléctricos, de datos estadísticos, de cadenas de DNA, etc. Es un marco teórico que ha demostrado una gran generalidad al ser aplicada en distintas áreas de conocimiento y en contextos educativos distintos a aquél donde fue creado.

Sólo como anécdota personal y para cerrar este ejemplo, les comparto que cuando yo le pedí a mi hija de 7 años que realizara las actividades diseñadas por diSessa y su equipo de trabajo, en sus dibujos aparecieron las categorías identificadas por los mencionados investigadores (ver figura 2). Cuando vi esto reafirmé mi convicción de que los resultados y conceptos producidos en Berkeley gozan de gran generalidad.

Figura 2. Representaciones de un auto en movimiento producidas por mi hija Mariana.

Mi segundo ejemplo sobre generalización de marcos teóricos se refiere a la llamada “aproximación instrumental” al aprendizaje de las matemáticas (ver por ejemplo Trouche, 2005). Este es un marco teórico basado en resultados de la ergonomía cognitiva (particularmente en los trabajos de Rabardel, 1995; y Verillon y Rabardel, 1995) y en la teoría de los marcos conceptuales (Vergnaud, 1990). Este marco fue originalmente utilizado para explicar cómo los estudiantes de matemáticas se apropiaban o familiarizaban con el uso de dispositivos tecnológicos (calculadoras, software,…), pero también para estudiar cómo estos dispositivos moldeaban el pensamiento matemático de los estudiantes. Dicho marco teórico incluye constructos teóricos tales como: génesis instrumental, procesos de instrumentación e instrumentalización, orquestación instrumental, entre otros.

Este marco teórico tuvo y sigue teniendo mucha influencia en los estudios sobre uso de tecnología en la enseñanza de las matemáticas; sin embargo, su área de influencia y aplicación se extendió al ser extrapolado al área de la formación de profesores de matemáticas y tomar la forma de la “aproximación documental” (ver Gueudet y Trouche, 2009). Este es un bonito ejemplo de cómo un marco teórico puede construirse basándose en conceptos y resultados provenientes de fuera del campo de la matemática educativa, y cuya aplicación puede extenderse a contextos muy distintos a aquél donde originalmente fue formulado. Recientes estudios han ilustrado la aplicación de este marco teórico en diferentes escenarios educativos, y en diferentes países (ver por ejemplo Sánchez 2010; y Gueudet, Pepin y Trouche, 2012).

COMENTARIOS FINALES

En esta entrada de blog he tratado de argumentar e ilustrar con ejemplos cómo la teoría en matemática educativa sí puede ser generalizable a través de distintos contextos educativos y culturales.

Me parece simplista y además delicado que se hagan afirmaciones tajantes, acerca de la presunta imposibilidad de generalizar teorías en matemática educativa.

Se tiende a simplificar porque dichas afirmaciones están basadas más en anécdotas, creencias y retórica, que en ejemplos concretos que ilustren la imposibilidad o complejidad de su extrapolación. De hecho creo que sería de gran utilidad para la comunidad nacional e internacional de matemáticos educativos si se proveyeran ejemplos concretos de casos en los que una teoría que se ha construido en un contexto educativo o cultural no pueda ser aplicada en un contexto educativo o cultural distinto.

Me parecen además delicadas las sugerencias como “no intentar buscar teorías en Google ni en revistas”. Dichas sugerencias pueden ser rápidamente descartadas por los matemáticos educativos que tengan un conocimiento promedio sobre la disciplina y su funcionamiento; sin embargo, me preocupa que los matemáticos educativos menos experimentados o aquellos en etapas tempranas de su formación interpreten como válidas dichas recomendaciones. Estas ideas fomentan una especie de xenofobia académica, acompañada de la ignorancia que se genera al no mantenerse actualizado sobre el estado de desarrollo de nuestra disciplina a través de sus revistas especializadas. Supongo que para algunos promover esta xenofobia e ignorancia académicas debe ser muy conveniente para sus propósitos.

Mario Sánchez Aguilar

REFERENCIAS

Azevedo, F.S. (2000). Designing representations of terrain: a study in meta-representational competence. The Journal of Mathematical Behavior, 19(4), 443-480. doi: 10.1016/S0732-3123(01)00053-0

Brousseau, G. (2002). Theory of Didactical Situations in Mathematics. Didactique des Mathématiques, 1970-1990. Editado y traducido por N. Balacheff, M. Cooper, R. Sutherland y Virginia Warfield. Dordrecht: Kluwer. doi: 10.1007/0-306-47211-2 

Danish, J.A. & Enyedy, N. (2007). Negotiated representational mediators: How young children decide what to include in their science representations. Science Education, 91(1), 1-35. doi: 10.1002/sce.20166 

Dick, T. (2007). Keeping the faith: Fidelity in technological tools for mathematics education. En G.W. Blume y M.K. Heid (Eds.), Research on Technology and the Teaching and Learning of Mathematics: Syntheses, Cases, and Perspectives. Vol. 2: Cases and Perspectives (pp. 333-339). Greenwich, CT: Information Age.

diSessa, A.A. (2004). Metarepresentation: Native competence and targets for instruction. Cognition and Instruction, 22(3), 293-331. doi: 10.1207/s1532690xci2203_2

diSessa, A.A. y Sherin, B.L. (2000). Meta-representation: an introduction. The Journal of Mathematical Behavior, 19(4), 385-398. doi: 10.1016/S0732-3123(01)00051-7

Gueudet, G. Pepin, B. y Trouche, L. (Eds.)(2012). From Text to ‘Lived’ Resources. Mathematics Curriculum Materials and Teacher Development. New York: Springer. doi: 10.1007/978-94-007-1966-8

Gueudet G. y Trouche, L. (2009). Towards new documentation systems for mathematics teachers? Educational Studies in Mathematics, 71(3) 199–218. doi: 10.1007/s10649-008-9159-8

Izsák, A., Çağlayan, G. y Olive, J. (2009). Meta-representation in an algebra I classroom. The Journal of the Learning Sciences, 18(4), 549-587. doi: 10.1080/10508400903191912

Rabardel P. (1995). Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments contemporains. Paris: Armand Colin.

Sánchez, M. (2010). Orquestación documentacional: herramienta para la estructuración y el análisis del trabajo documentacional colectivo en línea. Recherches en Didactique des Mathématiques, 30(3), 367-397.

Sherin, B.L. (2000). How students invent representations of motion: A genetic account. The Journal of Mathematical Behavior, 19(4), 399-441. doi: 10.1016/S0732-3123(01)00052-9

Trouche, L. (2005). An instrumental approach to mathematics learning in symbolic calculators environments. En Guin D., Ruthven K., Trouche L. (Eds.) The Didactical Challenge of Symbolic Calculators. Turning a Computational Device into a Mathematical Instrument (pp. 137–162). New York: Springer. doi: 10.1007/0-387-23435-7_7

Vergnaud, G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques, 10(2/3), 133-170.

Verillon P. y Rabardel P. (1995) Cognition and artifacts: A contribution to the study of thought in relation to instrument activity. European Journal of Psychology of Education, 9(3), 77-101. doi: 10.1007/BF03172796